Мы изучаем петли Вильсона в трехмерной теории Черна-Саймонса с представлением R калибровочной группы SU(N). Контуром интегрирования в петле Вильсона является узел К. В каждом порядке пертурбативного разложения по константе Планка петли Вильсона зависимости от узла и от представления разделяются. Зависящие от узла факторы называются инвариантами Васильева, а зависящие от представления – групповыми факторами. Среди групповых факторов и инвариантов Васильева выделены примарные, которые не разлагаются, соответственно, в произведение групповых факторов и инвариантов Васильева нижних уровней. С использованием соображений симметрии мы предъявили алгоритм нахождения групповых факторов пертурбативного разложения петель Вильсона в теории Черна-Саймонса в любом порядке разложения для произвольного представления R алгебры sl(N).

Структура найденных групповых факторов позволила нам получить целый ряд следствий. В рамках семинара я расскажу самые важные из них. Во-первых, мы смогли вычислить неизвестные ранее инварианты Васильева высших порядков. Во-вторых, мы обсудили проявление универсальности теории представлений простых алгебр Ли в физике. А именно, в конце 1990-х годов П. Вожель описал обобщение присоединенного сектора простых алгебр Ли при помощи трех параметров. Есть теорема, что существует зануляющаяся линейная комбинация групповых факторов, ассоциированная с любой простой алгеброй Ли. Для найденных нами групповых факторов с использованием параметризации Вожеля мы показали, что уже на шестом уровне пертурбативного разложения два групповых фактора совпадают для любой простой алгебры Ли. На восьмом уровне совпадают два примарных групповых фактора для алгебры sl(N), но они различаются алгеброй so(N). В-третьих, мы доказали недавно открытую симметрию петель Вильсона – симметрию «тяни-крюк», а также исследовали одноименную симметрию квантовых 6j-символов, которая является первой открытой симметрией, применимой к представлениям с вырождениями.

(По материалам докторской диссертации.)