Нестандартные методы конечных разностей для гамильтоновых систем

Численные методы для гамильтоновых систем должны учитывать законы сохранения, чтобы обеспечивать качество решения на длительных интервалах интегрирования. Даже при низком порядке сходимости структурно-сохраняющие схемы зачастую превосходят универсальные методы высокого порядка, поскольку позволяют избежать как искусственной диссипации, так и нефизического изменения энергии. Существуют два основных подхода: энергосохраняющие методы, которые сохраняют значение гамильтониана, и симплектические методы, которые сохраняют геометрическую структуру фазового пространства. Доказано, что ни один численный метод не может одновременно удовлетворять обоим свойствам для неинтегрируемых систем. Методы, сохраняющие энергию, как правило, неявны и требуют существенно больших вычислительных затрат на каждом шаге. Симплектические интеграторы сохраняют модифицированный гамильтониан, благодаря чему при длительных вычислениях не допускают систематического изменения энергии. Кроме того, численные интеграторы вносят фазовый сдвиг (опережение или отставание), который накапливается со временем и неизбежно приводит к изменению энергии, если симплектичность не сохраняется.
В данной работе для улучшения фазового портрета гамильтоновых систем предложены две модификации метода Верле, основанные на методологии нестандартных конечных разностей (NSFD). Эти модификации названы эллиптическим и гиперболическим методами Верле. Для полноты изложения стандартный метод Верле именуется параболическим. Особенность эллиптического и гиперболического методов заключается в том, что они соответсвенно сокращают и увеличивают шаг интегрирования в зависимости от параметра. При оптимальном выборе этого параметра можно уменьшить фазовый сдвиг и, как следствие, улучшить сохранение энергии по сравнению со стандартным методом Верле. Выбор между тремя интеграторами—эллиптическим, гиперболическим и параболическим—определяется топологией потенциальной энергии в начальной точке. Предложенные методы обобщены на многомерные гамильтоновы системы, что открывает новую возможность: индивидуальное управление шагом интегрирования для каждой фазовой переменной. Данная особенность особенно полезна в задачах, где быстрая и медленная динамика проявляются одновременно.