Dubna International Advanced School on Theoretical Physic (DIAS-TH)

Date and Time: Thursday, 21 December 2017, at 2:30 PM

Venue: Lecture Hall (2nd floor), Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics

Lecture topic: «Bispectral task and Calogero-Moser space»

Lecturer: Oleg Chalykh (University of Leeds, UK)

Abstract:

Обыкновенный дифференциальный оператор L = L(x, d/dx) называется биспектральным, если его собственные функции ϕ(x, λ) одновременно являются собственными функциями некоторого другого оператора, M = M(λ, d/dλ), по спектральному параметру. То есть, ϕ(x, λ) удовлетворяет уравнением Lϕ = λϕ и Mϕ = f(x)ϕ, с некоторой f(x). Простейший пример: L = d/dx, M = d/dλ, ϕ = e^λx.
В основополагающей работе Дюйстермаата и Грюнбаума (1986) ими была поставлена задача об описании биспектральных операторов и дано полное решение для случая одномерных операторов Шредингера L=−d²/dx² + u(x). В этой и последующей работах Дж.Вилсона и других авторов, были обнаружены интересные взаимосвязи биспектральности с различными областями математики и математической физики, в том числе, с интегрируемыми нелинейными уравнениями и системами взаимодействующих частиц. Будет рассказано о некоторых из этих взаимосвязях, центральную роль в которых играют чрезвычайно интересные алгебраические многообразия, называемые пространствами Калоджеро-Мозера. Несмотря на ряд глубоких результатов, ряд вопросов в данной области остается открытым и активно изучается в настоящее время. Если позволит время, я расскажу о связи пространств Калоджеро-Мозера с гипотезой Шапиро-Шапиро, которая не так давно была доказана Варченко, Мухиным и Тарасовым с помощью теории квантовой задачи Годена.