Дубненская международная школа теоретической физики (DIAS-TH)

Дата и время: пятница, 22 декабря 2017 г., в 12:00

Место: Лекционный зал (2-й этаж), Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова

Тема лекции: «Биспектральная задача и пространства Калоджеро-Мозера»

Лектор: Олег Чалых (Лидский университет, Великобритания)

Аннотация:

Обыкновенный дифференциальный оператор L = L(x, d/dx) называется биспектральным, если его собственные функции ϕ(x, λ) одновременно являются собственными функциями некоторого другого оператора, M = M(λ, d/dλ), по спектральному параметру. То есть, ϕ(x, λ) удовлетворяет уравнением Lϕ = λϕ и Mϕ = f(x)ϕ, с некоторой f(x). Простейший пример: L = d/dx, M = d/dλ, ϕ = e^λx.
В основополагающей работе Дюйстермаата и Грюнбаума (1986) ими была поставлена задача об описании биспектральных операторов и дано полное решение для случая одномерных операторов Шредингера L=−d²/dx² + u(x). В этой и последующей работах Дж.Вилсона и других авторов, были обнаружены интересные взаимосвязи биспектральности с различными областями математики и математической физики, в том числе, с интегрируемыми нелинейными уравнениями и системами взаимодействующих частиц. Будет рассказано о некоторых из этих взаимосвязях, центральную роль в которых играют чрезвычайно интересные алгебраические многообразия, называемые пространствами Калоджеро-Мозера. Несмотря на ряд глубоких результатов, ряд вопросов в данной области остается открытым и активно изучается в настоящее время. Если позволит время, я расскажу о связи пространств Калоджеро-Мозера с гипотезой Шапиро-Шапиро, которая не так давно была доказана Варченко, Мухиным и Тарасовым с помощью теории квантовой задачи Годена.