Построены новые семейства солитонных и квазипериодических решений уравнений Абловица-Ладика. В отличие от кноидальных волн, известных в литературе, фазовая переменная новых решений нелинейно зависит от времени и номера узла решетки: волна «свингует». Наш подход основан на существовании двумерного отображения для стационарных решений; это отображение порождает стоячие волны, произвольно центрированные относительно узлов решетки. Полученные стационарные решения используются для построения волн, распространяющихся с ненулевой скоростью. В локализованном случае, новые решения представляют собой темные солитоны с нетривиальным асимптотическим поведением. Выведено условие квантования для скорости волны, циркулирующей в замкнутом контуре из N точек.