Reflection equation and BC-type quantum spin chains with SL(2,C) and SL(2,R) symmetry groups

Будет рассмотрена задача диагонализации B-элемента матриц монодромии квантовых некомпактных спиновых цепочек BC-типа с группами симметрии SL(2,C) и SL(2,R). Матрицы монодромии этих моделей удовлетворяют уравнению отражения с R-матрицей Янга. Это уравнение было введено Е. К. Скляниным конце 1980-х годов как аналог уравнения Янга-Бакстера, возникающий при построении точно решаемых моделей квантовой механики с непериодическими граничными условиями.

Из уравнения отражения следует, что B-элемент порождает коммутативное семейство операторов, определяющих интегрируемую модель. Матрица монодромии строится при помощи K-матрицы – простейшего решения уравнения отражения (простейшего в том смысле, что элементы этой матрицы принимают числовые значения, а не операторные как в матрице монодромии), и матрицы Лакса, выражающейся через генераторы представления основной серии в случае SL(2,C) и представления дискретной серии в случае SL(2,R).

Будет разобран не изученный ранее случай моделей с нетривиальной K-матрицей, представляющей собой общее решение уравнения отражения с R-матрицей Янга. При построении собственных функций возникает новый объект – K-оператор, удовлетворяющий уравнению отражения с K-матрицей и матрицей Лакса модели.

Мы разберем метод построения собственных функций при помощи индукции по числу узлов цепочки и увидим, как при помощи фейнмановской диаграммной техники доказывается соотношение ортогональности собственных функций и их симметрии (на примере цепочки из 1 узла).

(Based on Candidate’s thesis.)